Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnitas

 

 

 

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Regla de Cramer o Determinantes

La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el calculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo.
Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.
El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su calculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.
Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas.
Así si partimos del sistema:

Tendremos que las incógnitas valdrán:

Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x:

y para el calculo de la y:

Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes de las incógnitas vale cero:

el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado si este determinante es distinto de cero.
Como ejemplo vamos a resolver el sistema:

Calculamos primero la x:

y ahora calculamos la y:

Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es: